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概率与测度 (2):积分与期望

本文属于概率与测度系列。

上一次我们谈到零测集的概念。之所以提出来,一方面是因为它比较好玩,另一方面是它和另一个重要概念息息相关。这个东西就是“几乎处处 (Almost everywhere)”,经常被缩写为“a.e.”。例如,“函数 $f$ 几乎处处等于零”——当我第一次看到这个样子的话的时候,就被深深地雷到了。 =.=bb 当然,我是后来才知道,这个东西是有严格定义的。把一个听起来就模棱两可的词强行加上一个严格的定义,然后直接拿来用,果然搞数学的人好洒脱!

回到 a.e. ,它的定义其实很简单,我们说某个性质“几乎处处”成立,严格地来说,就是在讲它除了在一个零测集上不成立之外,在其他地方都成立。例如,传说中的 Dirichlet function $\chi_\mathbb{Q}$,它在有理数上取值为 1 ,在无理数上取值为 0 (题外话:这个玩意它还是一个处处不连续的函数)。注意到 $\mathbb{Q}$ 的 (Lebesgue) 测度为零的,因此 $\chi_\mathbb{Q}$ 除了在一个零测集上之外,其他地方都取值为零,那么我们就说它“几乎处处为零”。

和这个对应的概率论里常用的还有一个看起来更雷人的概念,叫做 almost surely (或者叫做 almost certain 、almost always) ,说某件事情 almost surely 成立,就是说这件事情在一个“满测度”集合上成立。所谓“满测度”集就是说它的补集的测度为零,而并不一定要求补集是空集。不过零测集和空集之间的关系,如果不严加定义的话,仅用文字描述起来很难搅清楚,而用上了 almost surely 这样的看起来很模糊的词,就更加雪上加霜了。也许,都是那些数学工作者的错——选了一些表面上看起来很混淆的用词,结果导致一些人在并不知道真正严格含义的情况下纠缠在字面上的意思,最终沦落为民科啊……

当然,抛开用词不说,a.e. 的引入在实分析中是必要的——而并不只是简单的把原来的一些“处处成立”的定理推广为“几乎处处成立”这样一个看上去无关痛痒的扩展。可以想像一下,应该是某个定理在条件中不是 a.e. ,但是结论只能得到 a.e. ,所以说如果去掉 a.e. 这个概念的话,整条路就走不通了。不过,这里暂时还没法详细说这个问题。于是下面以一幅 6 格漫画结束开场白,正式进入这次的主题——“积分”吧!