Categories

Calendar

December 2018
M T W T F S S
« Jun    
 12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31  

漫谈 Clustering (2): k-medoids

Samoyed

Samoyed

本文是“漫谈 Clustering 系列”中的第 2 篇,参见本系列的其他文章

上一次我们了解了一个最基本的 clustering 办法 k-means ,这次要说的 k-medoids 算法,其实从名字上就可以看出来,和 k-means 肯定是非常相似的。事实也确实如此,k-medoids 可以算是 k-means 的一个变种。

k-medoids 和 k-means 不一样的地方在于中心点的选取,在 k-means 中,我们将中心点取为当前 cluster 中所有数据点的平均值:

\displaystyle \mu_k=\frac{\sum_n r_{nk}x_n}{\sum_n r_{nk}}

Rough Collie

Rough Collie

并且我们已经证明在固定了各个数据点的 assignment 的情况下,这样选取的中心点能够把目标函数 J 最小化。然而在 k-medoids 中,我们将中心点的选取限制在当前 cluster 所包含的数据点的集合中。换句话说,在 k-medoids 算法中,我们将从当前 cluster 中选取这样一个点——它到其他所有(当前 cluster 中的)点的距离之和最小——作为中心点。k-means 和 k-medoids 之间的差异就类似于一个数据样本的均值 (mean) 和中位数 (median) 之间的差异:前者的取值范围可以是连续空间中的任意值,而后者只能在给样本给定的那些点里面选。那么,这样做的好处是什么呢?
一个最直接的理由就是 k-means 对数据的要求太高了,它使用欧氏距离描述数据点之间的差异 (dissimilarity) ,从而可以直接通过求均值来计算中心点。这要求数据点处在一个欧氏空间之中。

然而并不是所有的数据都能满足这样的要求,对于数值类型的特征,比如身高,可以很自然地用这样的方式来处理,但是类别 (categorical) 类型的特征就不行了。举一个简单的例子,如果我现在要对犬进行聚类,并且希望直接在所有犬组成的空间中进行,k-means 就无能为力了,因为欧氏距离 \|x_i-x_j\|^2 在这里不能用了:一只 Samoyed 减去一只 Rough Collie 然后在平方一下?天知道那是什么!再加上一只 German Shepherd Dog 然后求一下平均值?根本没法算,k-means 在这里寸步难行!

在 k-medoids 中,我们把原来的目标函数 J 中的欧氏距离改为一个任意的 dissimilarity measure 函数 \mathcal{V}

\displaystyle\tilde{J} = \sum_{n=1}^N\sum_{k=1}^K r_{nk}\mathcal{V}(x_n,\mu_k)

最常见的方式是构造一个 dissimilarity matrix \mathbf{D} 来代表 \mathcal{V},其中的元素 \mathbf{D}_{ij} 表示第 i 只狗和第 j 只狗之间的差异程度,例如,两只 Samoyed 之间的差异可以设为 0 ,一只 German Shepherd Dog 和一只 Rough Collie 之间的差异是 0.7,和一只 Miniature Schnauzer 之间的差异是 1 ,等等。

除此之外,由于中心点是在已有的数据点里面选取的,因此相对于 k-means 来说,不容易受到那些由于误差之类的原因产生的 Outlier 的影响,更加 robust 一些。

扯了这么多,还是直接来看看 k-medoids 的效果好了,由于 k-medoids 对数据的要求比 k-means 要低,所以 k-means 能处理的情况自然 k-medoids 也能处理,为了能先睹为快,我们偷一下懒,直接在上一篇文章中的 k-means 代码的基础上稍作一点修改,还用同样的例子。将代码的 45 到 47 行改成下面这样:

45
46
47
48
49
50
        for j in range(k):
            idx_j = (labels == j).nonzero()
            distj = distmat(X[idx_j], X[idx_j])
            distsum = ml.sum(distj, axis=1)
            icenter = distsum.argmin()
            centers[j] = X[idx_j[0][icenter]]

可以看到 k-medoids 在这个例子上也能得到很好的结果:

iter_06

而且,同 k-means 一样,运气不好的时候也会陷入局部最优解中:

iter_08

如果仔细看上面那段代码的话,就会发现,从 k-means 变到 k-medoids ,时间复杂度陡然增加了许多:在 k-means 中只要求一个平均值 O(N) 即可,而在 k-medoids 中则需要枚举每个点,并求出它到所有其他点的距离之和,复杂度为 O(N^2)

看完了直观的例子,让我们再来看一个稍微实际一点的例子好了:Document Clustering ——那个永恒不变的主题,不过我们这里要做的聚类并不是针对文档的主题,而是针对文档的语言。实验数据是从 Europarl 下载的包含 Danish、German、Greek、English、Spanish、Finnish、French、Italian、Dutch、Portuguese 和 Swedish 这些语言的文本数据集。

N-gram-based text categorization 这篇 paper 中描述了一种计算由不同语言写成的文档的相似度的方法。一个(以字符为单位的) N-gram 就相当于长度为 N 的一系列连续子串。例如,由 hello 产生的 3-gram 为:hel、ell 和 llo ,有时候还会在划分 N-gram 之前在开头和末尾加上空格(这里用下划线表示):_he、hel、ell、llo、lo_ 和 o__ 。按照 Zipf’s law

The nth most common word in a human language text occurs with a frequency inversely proportional to n.

这里我们用 N-gram 来代替 word 。这样,我们从一个文档中可以得到一个 N-gram 的频率分布,按照频率排序一下,只保留频率最高的前 k 个(比如,300)N-gram,我们把叫做一个“Profile”。正常情况下,某一种语言(至少是西方国家的那些类英语的语言)写成的文档,不论主题或长短,通常得出来的 Profile 都差不多,亦即按照出现的频率排序所得到的各个 N-gram 的序号不会变化太大。这是非常好的一个性质:通常我们只要各个语言选取一篇(比较正常的,也不需要很长)文档构建出一个 Profile ,在拿到一篇未知文档的时候,只要和各个 Profile 比较一下,差异最小的那个 Profile 所对应的语言就可以认定是这篇未知文档的语言了——准确率很高,更可贵的是,所需要的训练数据非常少而且容易获得,训练出来的模型也是非常小的。

不过,我们这里且撇开分类(Classification)的问题,回到聚类(Clustering)上,按照前面的说法,在 k-medoids 聚类中,只需要定义好两个东西之间的距离(或者 dissimilarity )就可以了,对于两个 Profile ,它们之间的 dissimilarity 可以很自然地定义为对应的 N-gram 的序号之差的绝对值,在 Python 中用下面这样一个类来表示:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
class Profile(object):
    def __init__(self, path, N=3, psize=400):
        self.N = N
        self.psize = psize
        self.build_profile(path)
 
    sep = re.compile(r'\W+')
    def build_profile(self, path):
        grams = {}
        with open(path) as inf:
            for line in inf:
                for tok in self.sep.split(line):
                    for n in range(self.N):
                        self.feed_ngram(grams, tok, n+1)
        self.create_profile(grams.items())
 
    def create_profile(self, grams):
        # keep only the top most psize items
        grams.sort(key=itemgetter(1), reverse=True)
        grams = grams[:self.psize]
 
        self.profile = dict()
        for i in range(len(grams)):
            self.profile[grams[i][0]] = i
 
    def __getitem__(self, key):
        idx = self.profile.get(key)
        if idx is None:
            return len(self.profile)
        return idx
 
    def dissimilarity(self, o):
        dis = 0
        for tok in self.profile.keys():
            dis += abs(self[tok]-o[tok])
        for tok in o.profile.keys():
            dis += abs(self[tok]-o[tok])
        return dis
 
    def feed_ngram(self, grams, tok, n):
        if n != 0:
            tok = '_' + tok
        tok = tok + '_' * (n-1)
        for i in range(len(tok)-n+1):
            gram = tok[i:i+n]
            grams.setdefault(gram, 0)
            grams[gram] += 1

europarl 数据集共有 11 种语言的文档,每种语言包括大约 600 多个文档。我为这七千多个文档建立了 Profile 并构造出一个 7038×7038 的 dissimilarity matrix ,最后在这上面用 k-medoids 进行聚类。构造 dissimilarity matrix 的过程很慢,在我这里花了将近 10 个小时。相比之下,k-medoids 的过程在内存允许的情况下,采用向量化的方法来做实际上还是很快的,并且通常只要数次迭代就能收敛了。实际的 k-medoids 实现可以在 mltk 中找到,今后如果有时间的话,我会陆续地把一些相关的比较通用的代码放到那里面。

最后,然我们来看看聚类的结果,由于聚类和分类不同,只是得到一些 cluster ,而并不知道这些 cluster 应该被打上什么标签,或者说,在这个问题里,包含了哪种语言的文档。由于我们的目的是衡量聚类算法的 performance ,因此直接假定这一步能实现最优的对应关系,将每个 cluster 对应到一种语言上去。一种办法是枚举所有可能的情况并选出最优解,另外,对于这样的问题,我们还可以用 Hungarian algorithm 来求解。

我们这里有 11 种语言,全排列有 11! = 39916800 种情况, 对于每一种排列,我们需要遍历一次 label list ,并数出真正的 label (语言)与聚类得出的结果相同的文档的个数,再除以总的文档个数,得到 accuracy 。假设每次遍历并求出 accuracy 只需要 1 毫秒的时间的话,总共也需要 11 个小时才能得到结果。看上去好像也不是特别恐怖,不过相比起来,用 Hungarian algorithm 的话,我们可以几乎瞬间得到结果。由于文章的篇幅已经很长了,就不在这里介绍具体的算法了,感兴趣的同学可以参考 Wikipedia ,这里我直接使用了一个现有的 Python 实现

虽然这个实验非常折腾,不过最后的结果其实就是一个数字:accuracy ——在我这里达到了 88.97% ,证明 k-medoids 聚类和 N-gram Profile 识别语言这两种方法都是挺不错的。最后,如果有感兴趣的同学,代码可以从这里下载。需要最新版的 scipymunkres.pymltk 以及 Python 2.6 。

44 comments to 漫谈 Clustering (2): k-medoids

Leave a Reply

 

 

 

You can use these HTML tags

<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>