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概率与测度 (3):概率模型

本文属于概率与测度系列。

系列的前面两篇大致陈述了一下测度论方面的基础,由于这个学期有去旁听《概率论》这门课,所以主要还是按照课程进度来吧,不定期地把课程里一些有意思的内容抽取出来整理在这里。这次就说概率模型。

先从一个例子开始,比如一个盒子里放了 8 个黑球和 2 个白球,从盒子里随机拿一个球,问它是白球的概率是多少,大家都会不假思索地说,1/5 。的确,这似乎是很显然的,不过,实际上我们是用了一个模型来进行概率分析,但是由于这个情况实在太简单了,我们根本就没有注意到模型的存在性,但是换一个稍微简单的例子,要忽略模型“走捷径”有时候就会一下子想不清楚了。比如两个人各掷一个骰子,问 A 得到的点数比 B 大的概率。这个问题就比刚才那个问题要困难一些了。

最早人们在对这类概率问题进行数学抽象的时候,归纳出来的一种模型,现正称为古典概率模型。该模型包由一个包含有限个(设为 $N$)元素的样本空间 $\Omega$ 组成,$\Omega$ 中的每一个元素称为一个基本事件,$\Omega$ 的任意一个子集是一个事件。所有基本事件的概率是相等的,即 $1/N$ ,而任意事件的概率即为该集合的元素个数乘以 $1/N$ ,换句话说:

\[
P(A) = \frac{|A|}{N}
\]

也就是该事件集合的元素个数除以样本空间的总元素个数。对于第一个例子,我们可以这样建立模型:对每一个球编号,一共 1 到 10 号,设 8 号和 9 号是白球,其他的都是黑球,样本空间 $\Omega$ 为 {抽到的是 1 号球、抽到的是 2 号球、……、抽到的是 10 号球} ,而“抽到白球”这个事件集合即 {抽到的是 9 号球、抽到的是 10 号球} ,简单计算立即得到 1/5 的概率。

对于第二个问题,我们用一个 tuple $(x,y)$ 来记两次掷骰子的结果,则整个样本空间集合为 {$(x,y)$, $x=1,\ldots,6$, $y=1,\ldots,6$} 一共 36 […]

同义反复

忘记了之前在哪里看到说数学其实就是同义反复而已。从某种程度上来说,这样的言论也不能说完全是乱说,比如一系列的等价的推导,其实可以说就是在说同一件事情。但是“同义反复”多少有些贬义的意思,具体来说应该是指“不必要的反复”吧,但是数学应该不是这样吧。实际上,来考虑一下什么样的“反复”是“不必要的反复”就可以了,我觉得,那些只要是“不太明显” (non-obvious) 的关系,把这样的关系建立起来,应该也都是有其意义的,而尤其重要的是其中那些“深刻”的关联。

不过“深刻”这样的词是不是太抽象了呢?实际上,最近一年一来,接触了些数学专业的人,在同他们讨论问题的时候——好吧,其实大部分时候是我在听他们讲问题的时候——“深刻”这个词便时常在我脑子里出现。有时候听到他们说一些东西,会觉得很震惊,惊讶“原来如此”,惊讶自己从前的理解是如此的“肤浅”和不得要领。然而我一直想要来描述“深刻”这个词,却一直没有想法。也许应该举一个例子,不过有许多例子一时也想不起来了,也许有很多比较合适的经典的例子,比如 5 次以上方程不可用根式解之于 Galois Theory 的联系,我却又没法讲出来。

实际上大致就是那种感觉,不仅仅存在于数学,也存在于任何学科任何领域。从某一方面来说,世间的万事万物,作为一个个的独立的存在的话,并不是什么重要的存在,反而是它们之间的相互关联更加重要一些。所以,如果看到一个现象,得到的只是一些很明显的联系的话(也就是所谓的 obvious 的东西),也就是所谓肤浅了,这样用处大概并不大;但是如果是能抓住更深层次的东西(也就是 non-obvious 的东西),往往就能把问题看得更透彻——这样的带来的优势是可以比较形象地比喻的。比如说,各大洲上的生物有一些具有非常高的相似性,如果能顺着这个线索最终追查出原来曾经几块大陆是连在一起的,那么不仅为什么相差十万八千里的生物具有很高的相似性的问题变得豁然开朗,而且可以由此得到更多的结论来。

深刻,也就是抓住本质的东西,就好比照妖镜照出妖怪的本来面目。唐僧看不见妖怪的原形,所以妖怪用一些“烟雾弹”轻易就让唐僧上当受骗了;但是孙悟空有火眼金睛,却能看透妖怪的本质。这似乎让看透本质这样的能力越来越虚幻起来。但是神话毕竟只是神话,现实中没有人能有火眼金睛,但是看问题看得深刻——或者说,看到本质的东西,这样的能力却并不是遥不可及的。