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拓扑空间的紧性

Klein Bottle

参加暑期讨论班其中有一场是我讲,第一次这样子讲数学的东西,有点紧张,于是先在这里整理一下。内容大致是拓扑空间的紧性。

关于空间的紧性,我们在之前的分析中已经见过了:例如在实数轴上的有界闭区间就是典型的紧集,紧集具有很多优良的性质,比如我们知道在有界闭区间上的连续函数一定是一致连续的,并且能取到最大值和最小值。所以,在将空间的概念推广到一般的拓扑空间之后,我们也希望将紧性这一优良性质也带到拓扑空间中来。为此,我们需要找到什么是紧集最本质的东西。在实数轴上的紧集 $K$,有如下的一些等价刻画:

$K$ 是有界闭集
$K$ 的任意无限子集必存在极限点
$K$ 中的任意序列必有收敛子列
$K$ 的任意开覆盖必有有限子覆盖

其中第一条无法在拓扑空间中使用,因为“有界”的概念无法定义。第二或者第三条曾经被认为是实质性的,但是后来由于 Tychonoff 定理,人们发现最后一条才是真正好的定义,因此将其作为拓扑空间紧性的定义,而第二条和第三条分别被叫做“极限点紧(Limit point compact)”和“序列紧(Sequencially compact)”。下面是正式内容,在给出定义之前,我先给出一个提纲:

首先当然是要给出拓扑空间紧性的定义。
接下来当然是会举一些例子,一方面是把枯燥的定义从抽象中拉回来,另一方面也是非常重要的是给出紧空间的存在性的证据,因为定义总是可以随便给的,这样子我可以给出具有任意优良性质的定义来,然而所定义的东西如果是不存在的话,相关的一切性质其实都是空谈。
然后我们将介绍从已有的紧空间构造新的紧空间的方法:包括集合的交、并、补,以及子空间、商空间和积空间——这一系列都是标准套路。在这里将会出现一个大定理,就是刚才提到的 Tychonoff 定理。
接下来将暂时中断一下,讨论一下稍微具体一点的度量空间中的紧性。因为度量空间更加具体一些,所以能得到的性质也更丰富一些。
最后我们将简要介绍一些将非紧空间(non-compact space)转化为紧空间(compactification,紧化)的初步知识。

啊,不过,由于一次报告是两个人一起讲的,这次我大致负责前半部分,因此从度量空间的紧性开始那部分内容就不列在这里了。

MSTC 月刊第三期(十周年特辑)

MSTC 月刊第三期,距离第一期创刊号发布已经快要有两年了,所以说叫“月”刊当然不太合适,当然现在就不去纠结这些细节问题了。这次是第三期,也是特别的一期,因为今年是俱乐部成立十周年,所以是十周年特辑。比较遗憾的是没有能在十周年 party 之前弄完,不过现在既然终于要正式出炉了,那么这些话也不多说了吧,制作过程当然是很辛苦和漫长,当然最需要感谢的是各位供稿人,没有你们提供的内容,月刊是绝对做不出来的啦。

先提供下载吧,顺便附上前两期下载以供怀旧之用(校内下载是 FTP 地址,由于历史原因路径中有中文,如果浏览器无法正确处理,请用 FTP 软件下载):

MSTC 月刊 TechCool Issue 3 (十周年特辑),屏幕阅读预览版(JPEG 普通压缩 dpi 72,对页合并,9.12 MB):校外下载|校内下载
MSTC 月刊 TechCool Issue 3 (十周年特辑),屏幕阅读珍藏版(JPEG 高质量压缩 dpi 144,对页合并,24.5 MB):校外下载|校内下载
MSTC 月刊 TechCool Issue 3 (十周年特辑),可打印版(对页拆分,A4 纸张,103 MB):校外下载|校内下载
MSTC 月刊 TechCool Issue 2:校外下载|校内下载
MSTC 月刊 TechCool Issue 1 (创刊号):校外下载|校内下载

我作为这次月刊的重大苦力,迫不及待地想要提一下这次月刊相对于之前版本的特点:首先是风格比较统一,因为整个排版是由我一个人完成的,首次尝试了采用 Adobe InDesign 来排版——果然是专业的排版软件,比 Word 弄出来的东西看起来更加正规了。一开始就希望做成杂志的样子,就按照双页对开为整个一个版面的方式来排版了,加入了大量的图片元素,所以页数(和文件大小)也比以前的两期增加了许多。除了少数照片是在网上找的之外,大部分图片都是出自俱乐部的照片,此外我还动手为其中一些内容画了插图,虽然有些一下子就看出了功力不足或者偷懒嫌疑,但是也有碰巧自己觉得感觉还不错的——比如游记中的水墨风格的那张。

当然除了排版工作之外,还有众多其他苦力,大家都非常辛苦才有这样的成果啊。而且我很期待这次的版本实际打印出来的效果,俱乐部稍大量打印的可能性团长还在评估中,不过我想回头我自己应该会去印一份的。 总之就是这样啦,要给好评哦亲!给差评我会删帖的哦亲!